, а их элементы
малыми 
. Если некоторое
множество 
состоит из
элементов 
, то это
записывается так: 
.Алгебра множеств.
В этом листке вводятся основные обозначения и начала теории множеств, сформулированной немецким математиком Г. Кантором. Понятие множества принадлежит к числу простейших математических понятий.
Множество – набор, совокупность каких-либо объектов, называемых его элементами.
В каждом случае мы выделяем из всевозможной совокупности объектов некоторый класс этих объектов, обладающих определёнными, им присущими, свойством. Этот класс объектов мы называем множеством, отвлекаясь, в дальнейшем, от природы этих объектов. Так, можно говорить о множестве точек на прямой, множестве сторон многоугольника, множестве решений уравнения.
Множества мы будем обозначать прописными
буквами , а их элементы
малыми . Если некоторое
множество состоит из
элементов , то это
записывается так: .
Утверждение “элемент 
принадлежит множеству ” символически записывается так: 
; запись 
означает, что элемент не
принадлежит множеству .
Ясно, что утверждения 
и 
не могут выполнятся
одновременно.
Определение 1.1: Множество называется подмножеством
множества 
, если каждый
элемент, принадлежащий множеству , принадлежит и множеству 
. Обозначение: 
(или 
).
Определение 1.2: Два множества и 
называются равными (тождественными),
если одновременно выполняется и 
.
Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некоторое множество (например множество корней уравнения) хотя бы один элемент, поэтому:
Определение 1.3: Пустым множеством
называется множество, не содержащее ни одного
элемента. Обозначается: 
.
Замечание: Любое множество содержит 
в качестве своего
подмножества.
Задача 1.1: Сколько существует подмножеств у множества, состоящего из:
a). трёх элементов b). n элементов.
Задача 1.2: Доказать, что множество тогда и только тогда
является подмножеством множества , когда любой элемент, не
принадлежащий , не
принадлежит .
Определение 1.4: Множество 
называется объединением,
или суммой, множеств и , если 
или
(см. рис.1). Обозначается: 
. Запись илиозначает, что множество состоит из элементов,
каждый из которых удовлетворяет условию: 
или 
.
Определение 1.5: Множество называется пересечением
множеств и , если и (см. рис.2).
Обозначается: 
.
Задача 1.3: Доказать, что для множеств 
и 
верно 
.
Задача 1.4: Докажите свойства объединения и пересечения множеств:
a). |
 |
(коммутативность) |
b). |
 |
(ассоциативность) |
c).  |
 |
(дистрибутивность) |
Определение 1.6: Множество называется разностью
множеств и , если и
(см. рис.3).
Обозначается: 
.
Задача 1.5: Доказать:
a). 
b). 
Определение 1.7: Пусть задано некоторое
фиксированное множество 
, и 
. Множество 
называется дополнением
множества 
, в том
смысле, что 
дополняет
множество 
до (см. рис.4).
Задача 1.6: Доказать:
a). 
b). 
| Рис. 1
|
Рис. 2
|
| Рис. 3
|
Рис. 4
|
