Натуральные числа. Арифметика.
Метод математической индукции.

Определение 2.1. Множеством натуральных чисел N(натуральным рядом) называется множество, удовлетворяющее следующим аксиомам (аксиомам Пеано):

  1. Один из элементов множества N обозначен 0 (ноль).
  2. Каждому элементу nN сопоставлен “следующий” за ним элемент n’N.
  3. Ни для какого nN не выполняется n’=0.
  4. Для любых n, m N из равенства n’=следует m.
  5. Любое множество M N, такое, что:
    1. 0 M
    2. Из m M следует m’M совпадает с N (аксиома индукции).
  1. Может ли множество A = {a, b, c} с неким образом определёнными понятиями 0 и “следования” являться натуральным рядом
  1. при полной системе аксиом Пеано
  1. при системе аксиом {1, 2, 4, 5} ?
  1. Если в определении 2.1 ноль оставить прежним, а понятие следования ’ заменить на ’’, то получим определение множества чётных чисел (таким образом, множество чётных чисел является натуральным рядом). Натуральное число, не являющееся чётным, назовём нечётным. Может ли являться натуральным рядом множество всех нечётных чисел ?

Определение 2.2. Введём понятия сложения и умножения на N так
(аксиомы 2-5 считаются справедливыми для всех n, m N)

  1. Один из элементов множества N обозначим 1 (единица).
  1. (n + m)’ = n + m’
 (n + m)’ = n’ + m
  1. n + 0 = n
 0 + n = n
  1. n * 1 = n
 1 * n = n
  1. n * m’ = (n * m) + n
 n’ * m = (n * m) + m
  1. Доказать, что для всех a, b, c N
a). a + b = b + a g). a * b = b * a
b). a + (b + c) = (a + b) + c h). a * (b * c) = (a * b) * c
c). a * 0 = 0 i). 0 * a = 0
d). a + 1 = a’ j). 1 + a = a’
e). 1 = 0’ k). (a + b) * c = (a * c) + (b * c)
f). 1’ * 1’ = 1’’’

Определение 2.3. (Метод математической индукции) Пусть A0, A1, A2,...An,... - последовательность утверждений, каждое из которых может быть либо истинным, либо ложным. Пусть известно, что A0 - истинно, и что для любого натурального n из истинности An следует истинность An+1. Тогда все утверждения A0, A1, A2,...An,...- истинны.

  1. В некоторой стране выбором членов следующего парламента занимается текущий парламент, причём каждый парламентарий может быть либо демократом, либо коммунистом. Известно, что и демократы и коммунисты голосуют только за парламент, где их партии представлены в большинстве. Доказать, что если в первом парламенте большинство мест имели демократы, то и во всех последующих парламентах у них будет большинство мест.
  2. Доказать (лучше использовать метод математической индукции)
    a).
    b).
    c).
    d). Найти .
    e). Доказать (по индукции) формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.
    f). То же для геометрической прогрессии.
  1. Доказать, что для всех nN
    a). n(2n2 - 3n + 1) 6 b). 11n+1 + 122n-1 133
  1. Верно ли, что почти для всех nN
    a). n > 91 b). n 2
    c). 10n + 100 < n2 d). 10n2 < 2n
    e). 10n < n! f). n! < nn
    g).
  1. Доказать, что для всех n, a N   (1 + a)n 1 + na  (неравенство Бернулли)
  2. На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения (т. е. таких, никакие две из которых не параллельны, а никакие три не проходят через одну точку) ?
  3. На плоскости нарисовано n окружностей, возможно, пересекающихся, но не касающихся друг друга. Доказать, что всю плоскость можно раскрасить двумя цветами таким образом, чтобы области, имеющие общую границу (не точку), были раскрашены разными цветами.
  4. (*) Доказать метод математической индукции, исходя из аксиомы индукции.

[Вернутся к оглавлению]