Рациональные числа.

Определение 5.1: Дробью назовём пару < a,b> , где aZ, bN+. Дроби a/b и c/d считаются равными, если a*d=b*c. Рациональным числом назовём дробь a/b. Множество всех рациональных чисел обозначим Q.

  1. (*) Доказать, что следующие множества образуют натуральный ряд:
a). {< 1,n> | nN+}
b).    Z
c).** Q
  1. Покажите, что:
    a). a N+, b N+ a * b N+ c). a N–, b N+ a * b N–
    b). a N+, b N– a * b N– d). a N–, b N– a * b N+

Определение 5.2: Определим операции на множестве Q (a,c Z; b,d N+):

  1. Для всех a/b, c/d Q a/b + c/d = (a*d + b*c)/(b*d)
  2. Для всех a/b, c/d Q a/b * c/d = (a*c)/(b*d)
  3. Существует такой 0 Q, что для всех a/b Q a/b + 0 = 0 + a/b = a/b
  4. Существует такой 1 Q, что для всех a/b Q a/b * 1 = 1 * a/b = a/b
  5. Для всех a/b Q существует (-(a/b)) Q | a/b + (-(a/b)) = 0
  6. Для всех a/b Q существует (a/b)-1 Q | a/b * (a/b)-1 = 1
  7. a/b - c/d = a/b + (-(c/d))
  8. (a/b) / (c/d) = a/b * (c/d)-1
  1. Покажите, что:
    a).  Для всех n N+ 0/n = 0 c).  (-(a/b)) = (-a)/b e).  0 = -0
    b). 1/1 = 1 d).  (a/b)-1 = b/a f).  1 = 1-1

Определение 5.3: a/b > 0 тогда и только тогда, когда a> 0.

Определение 5.4: a/b > c/d тогда и только тогда, когда a/b - c/d > 0.  (Понятия <,, определяются аналогично.)

  1. a). a/b > 0 (-(a/b)) < 0, а также (a/b)-1 > 0
    b). a1/b1 > a2/b2, c/d > 0 (a1/b1 + c/d) > (a2/b2 + c/d), а также (a1/b1 * c/d) > (a2/b2 * c/d)
    c). a/b > 1 0 < (a/b)-1 < 1

[Вернутся к оглавлению]