Определение 6.1: Непустое множество А называется конечным, если можно указать такое фиксированное число nN, что количество элементов множества А меньше n. Множество не являющееся ни пустым, ни конечным называется бесконечным.

1. Является ли конечным множество простых делителей числа .
2. Всегда ли для конечного множества можно указать число, большее числа элементов этого множества. Приведите примеры.
3. Введите понятия < ,> ,~ на конечных множествах. Для этого вспомните каким свойствам должны удовлетворять эти понятия.

Определение 6.2: Два множества называются равномощными, если между элементами этих множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие.

4. Когда два конечных множества равномощны ?
5. Равномощны ли множества: N, Z и Q.
6. Докажите равномощность:

   a). множества всех точек прямой и множества всех точек окружности

   b). множества всех точек плоскости и множества всех точек сферы.

7. Докажите равномощность отрезка [0,1] всей числовой прямой.

Определение 6.3: Множества, равномощные множеству N называются счетными .

8. Докажите счетность следующих множеств:

   a). четных натуральных чисел

   b). объединения двух счетных множеств

   c). объединения счетного числа счетных множеств

   d). множества вирусов, которые когда-либо будут жить на земле.

9. Докажите равномощность отрезка [0,1] и интервала (0,1).
10. Докажите равномощность множества точек отрезка [0,1] и множества точек квадрата (включая внутреннюю область).
11. Доказать или опровергнуть, что множество всевозможных бесконечных цепочек, составленных из нулей и единиц, счетно.

Аксиома выбора : Для любого множества R попарно непересекающихся непустых множеств Z существует, по крайней мере, одно множество M, содержащее по одному и только по одному элементу из каждого из множеств Z множества R.

12. a). Если множество M - бесконечно то, для любого nN существует n различных элементов, принадлежащих M

    b). Всякое бесконечное множество имеет счетное подмножество.

В этом смысле счетные множества являются самыми "маленькими" из всех бесконечных множеств. В то же время, существуют и несчетные множества(см. задачи).

13. Пусть имеется произвольное множество M. Будем объединять его элементы в пары, исключая из M те, для которых нашлась пара. Утверждается, что возможны только два случая:

14. Всякое бесконечное множество равномощно некоторому своему несобственному подмножеству ( см. например задачу 6.7. Это свойство бесконечных множеств можно принять за определение бесконечного множества).
15. Если множество A - бесконечно, а B - конечно или счетно, то (AB) ~ A.
16. **  Теорема Кантора - Бернштейна.    Пусть даны два произвольных множества A и B. Если можно установить взаимно-однозначное соответствие, между множеством A и некоторым подмножеством множества B и, наоборот, между множеством B и некоторым подмножеством множества A, то множества A и B - равномощны.

[Вернутся к оглавлению]