Мощность множеств. Континуум.

В этом листке R - множество действительных чисел. Пока нам достаточно считать, что действительное число - это бесконечная десятичная дробь. Также мы полагаем, что множество R равномощно множеству точек прямой.

Определение 8.1: Пусть А и В - два произвольных множества. Тогда логически возможны четыре случая:

1). Существуют множества M1 и M2 такие, что: M1A, M2B и M1~B, M2~A. Тогда по теореме Кантора-Бернштейна: A~ B, т.е. А равномощно В.
2). Существует множество M1A такое, что: M1~B и, напротив, каково бы ни было множество M2 такое, что M2B: (M2~ A). В этом случае естественно считать, что А более мощно, чем В. Обозначается: АВ.
3). Существует множество M2B такое, что: M2 ~A и, напротив, каково бы ни было множество M1 такое, что M1A: (M1~B). Т. е. ВA.
4). Каковы бы ни были множества M1A и M2B: (M1~B) & (M2~A). Т. е. множества А и В несравнимы по мощности. Этот случай исключается аксиомой выбора.

    Следовательно, для любых двух множеств, верно, что: либо они равномощны, либо одно из них более мощно, чем другое.

  1. (*) Доказать, что любые два множества всегда сравнимы по мощности.
  2. Доказать, что множество N имеет наименьшую мощность из всех бесконечных множеств.

Определение 8.2: Мощность счетных множеств обозначается: (читается - алеф нуль). Множества равномощные множеству из листка 6, задачи 11 называются множествами мощности континуума, обозначается .

  1. Доказать, что множество всех подмножеств множества N имеет мощность континуума. Это можно записать так: (смотрите задачу 1b из 1 листка).
  1. Доказать, что следующие множества имеют мощность континуума:
a). множество R
b). множество точек отрезка [0,1] (не только рациональных)
c). множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел.
  1. Можно ли расположить на плоскости континуум непересекающихся:
a). окружностей b). кругов

    Существуют ли множества более мощные, чем множества мощности континуума и как строить такие множества? На это дает ответ теорема Кантора:

  1. (*) Пусть P(A) - множество всех подмножеств множества A, тогда P(A)A.
  2. Какую мощность имеет множество P(A), если А - счетно?
  3. Если AB или A~ B, то: AB~ A , (где A - не счётно)..

    Континуум - гипотеза: Не существует множества, обладающего промежуточной мощностью между и . /В 1963 году американский математик П.Коэн показал, что существование такого множества нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из принятых аксиом теории множеств. См. также Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М.1969./

[Вернутся к оглавлению]