Определение 9.1: Множество называется замкнутым относительно некоторой операции, если результат применения этой операции к любым элементам данного множества является элементом этого множества.

1. Относительно каких алгебраических операций множества N,Z,Q являются замкнутыми?
2. Между любыми двумя рациональными числами существует бесконечно много рациональных чисел.
3. Q

Критерий полноты.

Определение 9.2: Пусть на некоторых множествах А и В заданы операции и , или(и) отношения порядка > и > > , соответственно. Изоморфизмом между множествами А и В относительно операций и называется такое отношение, что:

1. А~B

2. , где &, где .

Изоморфизмом между множествами А и В относительно отношений порядка > и > > называется такое отношение, что:

1. A~B

2. , где

Множества А и В называются изоморфными относительно некоторых операций или отношений, если между ними можно постоить изоморфизм относительно этих операций и отношений(обозначается АВ) и неизоморфными , если никакого изоморфизма построить нельзя.

4. Приведите пример множества(или докажите, что такого множества не существует):

5. Докажите, что если AB относительно операциий и и, на A выполняются свойства:

1.  ab=ba

2.  (ab) c=a(bc)

3.  e: ae=a

4. a-1: a a-1=e,

то они выполняются и на В.

6. Доказать изоморфность множеств Q и Q’ относительно операций +,,-, и отношения порядка, где Q - множество из листка 5, а Q’- множество всех десятичных дробей: конечных и периодических, с обычными операциями и отношением порядка.

Определение 9.3: Множество М называется полным относительно заданных на нем операций и отношения порядка, если не существует такого множества М’, неизоморфного М, что М изоморфно некоторому несобственному подмножеству А множества М’, и все свойства операций и отношения порядка, верные на А, верны и на М.

7. Доказать, что Q неполно относительно основных четырех операций и отношения порядка.

Определение 9.4: Сечением на непустом множестве М называется система двух множеств А и В такая, что:

1.  А В=М,

2.  . Обозначается .

Аксиома полноты: Пусть - произвольное сечение Q. Тогда существует единственный такой элемент r , что: (Поскольку r однозначно определяет сечение, то, в дальнейшем, говоря о сечении, мы будем подразумевать элемент его определяющий).

Определение 9.5: Множество всевозможных сечений множества Q называется множеством действительных чисел R (I = R\Q - множество иррациональных чисел).

8. Пусть заданы непустые множества А и В такие, что:

a). доказать, что - сечение на Q

b). в А нет наибольшего элемента (т.е. "aA)

c). в B нет наименьшего элемента

d). доказать существование в множестве R.

9. Доказать существование в множестве R:

a).

b).  , nN+

c).  ,  z> 0, z R .

Определение 9.6: Сумму двух сечений на Q определим как сечение , где сумма множеств есть множество, состоящее из всех элементов с таких, что: с=x+a, где xX, aA. Аналогично определяются остальные операции (- ,*, ).

10. Доказать на R, что:

a).	b).
c).	d).

11. Доказать, что множество R - полно относительно четырех основных операций и отношения порядка.

Множества изоморфные R.

12. Доказать изоморфизм следующих множеств относительно операций +, -,*, и отношения порядка:

a).  множества точек прямой и множества бесконечных десятичных дробей

b). множества бесконечных десятичных и множества бесконечных двоичных дробей

c). множеств точек прямой и плоскости

d). множества R и множества бесконечных десятичных дробей

13. Любой интервал в R содержит:

Определение 9.7: Системой вложенных отрезков называется такое бесконечное множество отрезков, что: [a₀,b₀][a₁,b₁]...[a_n,b_n]..., где aa₁...a_n...b_n...b₁b ().

14. a). Любая система вложенных отрезков содержит хотя бы одну общую точку.

    b). Если длина отрезков стремится к нулю ( т.е. ) , то эта точка - единственная

    c).  Верно ли утверждение пункта а) для системы вложенных интервалов ?

[Вернутся к оглавлению]