Кванторы.

Определение 10.1: Пусть - некоторое логическое утверждение относительно объекта (например ). Введём новые обозначения:

означает, что выполняется для всех объектов из множества всех рассматриваемых объектов
- выполняется хотя бы для одного объекта из множества всех рассматриваемых объектов
- выполняется ровно для одного объекта из множества всех рассматриваемых объектов
- выполняется для всех объектов из множества
- выполняется хотя бы для одного объекта из множества
- выполняется ровно для одного объекта из множества .

Значки называются кванторами.

Примечание: Рассмотрим утверждения относительно нескольких объектов (к примеру ). Аналогично введём обозначения (например ). Понятно, что подобное утверждение можно свести к ряду утверждений вида , где , где .

  1. Записать в кванторах следующие высказывания:
a). Любое рациональное число положительно
b). Множество точек любых двух отрезков ненулевой длины на прямой равномощны
c). Изоморфные множества не равномощны
d). Определение множества целюх чисел из листка 4
e). Теорему Кантора-Бернштейна
f). Определения отображения и взаимно-однозначного соответствия
g). Континуум-гипотезу
h). Два множества, изоморфные третьему по операции, изоморфны между собой
i). Есть какие-то две цепочки из латинских букв, такие, что подставив одну из них вместо некоторой подцепочки другой цепочки, получим пустую цепочку.
  1. Даны утверждения . Записать в подобном виде утверждения: .
  2. a). – i). Построить отрицания к высказываниям из задачи 1.
  3. Верно ли, что:
a).
b).
c).
d).
e).
  1. Разберитесь, что написано в задаче 9.14b. Подумайте, почему написанное там выражение означает, что длины отрезков стремятся к нулю. Что означает, что длина не стремится к нулю? Как написать это в кванторах? А что длина стремится к 1?
  2. Запишите через кванторы и выражения:
a). b). c). d).

[Вернутся к оглавлению]