Последовательности. Грани.

Ограниченные множества. Грани.

Определение 11.1: Пусть М - некоторое непустое множество на котором задано отношение порядка ‘< ’. . Множество А называется ограниченным сверху на М, если: .

  1. Запишите, что означает:
a).  множество ограничено снизу
b).  сверху и снизу (такое множество называют ограниченным).

Замечание: Множество на котором задано отношение порядка мы будем называть упорядоченным.

Определение 11.2: Пусть М - некоторое упорядоченное множество. . У множества А существует на М точная верхняя грань а, если:

где а1 - верхняя грань множества А.

  1. a).  Запишите, что означает, что у множества существует точная нижняя грань.
    b).  Могут ли у множества существовать две различные точные верхние(нижние) грани?
    c).  Привести пример множества, у которого существует точная верхняя грань, но которое её не содержит.
  2. Докажите, что если М - непустое упорядоченное множество и , то А - упорядоченное множество.
  3. Что можно сказать о множестве М, если А - ограничено на М и А=М.
  4. Доказать или опровергнуть:
    a).  любое непустое ограниченное подмножество Q имеет на Q точную верхнюю грань
    b).  любой отрезок на R содержит свои точные грани
    c).  любое непустое ограниченное подмножество R имеет на R точную верхнюю грань.
  5. Докажите эквивалентность аксиомы полноты и утверждения пункта 5с) этого листка.
  6. Пусть а - точная верхняя грань множества А на R, а b - точная верхняя грань множества В на R. Что можно сказать о точной верхней грани множества (А + В).

Примечание: В дальнейшем, если не оговорено другое, мы будем рассматривать множества ограниченные на R.

Последовательности.

Определение 11.3: Последовательностью, заданной на множестве М называется отображение R:NM, где N - множество натуральных чисел. Элементы множества R мы будем обозначать как an , где nN (т.е. (< 0,x> R)a0 , (< 1,y> R)a1 ,.. (< n,z> R)an, и т.д.). Саму последовательность будем обозначать как {an}, считая по определению, что: ai = x , где ai (< i, x> R). Числовой последовательностью называется последовательность, заданная на одном из подмножеств множеств: N, Z, Q, R, С (- комплексные числа).

Определение 11.4: Классификация числовых последовательностей.

Последовательность {an}:

  • возрастающая, если
" k,mN (k > m)(akam)
  • строго возрастающая, если
 " k,mN (k > m)(akam)
  • монотонная, если она или возрастающая, или убывающая,
  • стационарная, если
 " k,mN ak = am
  • ограниченная.

Определение 11.5: Подпоследовательностью последовательности {an} называется последовательность {}, составленная из элементов {an} так, что каждый элемент {an} берется по одному разу и большему k соответствует большее n.

Определение 11.6: Две последовательности называются равными(обозначается {an}={bn}), если: iN (ai = bi). В дальнейшем, под последовательностью мы всегда будем подразумевать числовую последовательность, если не оговорено какая именно это последовательность.

Последовательности обычно задают:
- формулой n-ного члена (an | an = n2)
- рекуррентной формулой (an | a1=10, an+1= an2 + 1).
  1. Сформулируйте определение последовательности:
a). неограниченной снизу b). ограниченной
c). убывающей d). строго не возрастающей
  1. Может ли последовательность быть одновременно:
a). ни возрастающей, ни убывающей
b). монотонной и стационарной
c). строго убывающей и ограниченной
  1. Напишите рекуррентную формулу для последовательности {an}:
a). an = 2n b). an = 3n-2 c). an = (n-1)/(n+1)
  1. Исследуйте на монотонность и ограниченность последовательности {an}:
a). an = (-1)n b). an = 1/n
c). an = d). a1 = , an+1 =
e). a1 = 1, an+1 = an + f). (*) an = (1+1/n)n
g). an = - ; верно ли, что " e > 0 $ nN : (an < e ) ?
  1. Найти номера наибольших членов последовательности {an}:
a).  an = 11n - n2 + 2 a). (*)   an =
  1. Существует ли такая последовательность целых (действительных) чисел, что любая последовательность целых (действительных) чисел является её подпоследовательностью ?

[Вернутся к оглавлению]