Определение 12.0: Напомним, что числовой последовательностью называется отображение с областью определения N, т.е. такое, что любому nN сопоставлен элемент a_n.

Определение 12.1: Говорят, что последовательность сходится (имеет предел) если . Число A в таком случае называется пределом последовательности (обозначается ). В дальнейшем везде, где указано или требуется найти значение предела, соответственно считается данным или требуется к доказательству факт его существования.

Определение 12.1': A называется пределом последовательности , если почти для всех a_n выполняется .

1. Докажите эквивалентность определений 12.1 и 12.1'.
2. Докажите, что последовательность не может иметь более одного предела.
3. Докажите, что если и , то:

   a).

   b).

   c).

   d).  , где

4. Докажите, что если и , то:

   a).

   b).

   c).   Верно ли, что

5. Сходятся ли последовательности, и, если да, то к чему:

   a).	b).
   c).	d).
   e).  (*)

Определение 12.2: называется бесконечно малой, если .

Определение 12.3: называется бесконечно большой, если . Говорят в таком случае, что имеет пределом бесконечность (). Говорят, что , если .

6. Докажите, что " БМП ограничена, сходится и .
7. Докажите, что если , то - БМП.
8. Привести пример неограниченной, но не бесконечно большой последовательности.
9. Докажите, что -БМП- ББП.
10. Докажите, что если - БМП, а - ограничена, то -БМП.
11. Построить систему из бесконечного числа БМП так, чтобы:

    a).  почленная сумма

    b).  почленное произведение не являлись БМП.

12. Докажите, что если и , то:

    a).	b).
    c).	d).  (при B0)
    Указание: используйте задачи 7 и 10.

13. Сходятся ли последовательности, и, если да, то к чему:

    a).	b).	c).
    d).	e).

Определение 12.4: Выберем из всех индексов n = 1,2... возрастающую последовательность . Из исходной последовательности можно выделить последовательность , которую называют подпоследовательностью .

Определение 12.5: Верхней, нижней гранью, ТВГ, ТНГ называют соответствующие грани множества ее элементов.

14. Любая сходящаяся последовательность ограничена.

15. a). Любая монотонная ограниченная последовательность сходится.

    b). Предел любой монотонно возрастающей (убывающей) последовательности равен ТВГ (ТНГ) множества ее элементов.

16. (Теорема о двух милиционерах) Пусть . Доказать, что .
17. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности имеет тот же предел.
18. (Теорема Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
19. (*) Сходятся ли последовательности, и, если да, то к чему:

    a).* . Доказать, что $ .

    b).*

    c).* . Доказать, что и что

Определение 12.6: A называется частичным пределом (предельной точкой) последовательности , если на интервале найдется бесконечно много элементов . Множество предельных точек будем обозначать как ПТ() I R*. Верхним пределом () называется ТВГ ПТ(), а нижним пределом ()- ТНГ ПТ() Примечание : R* = R- расширенное множество действительных чисел. Аналогично N* = N и Q* = Q.

19. Существует ли такая последовательность, что ПТ() =

    a).  {a, b}	b).  [a, b]	c).  (a, b)
    d).   N*	e).   Q*	f).   R*

20. сходится предельная точка .
21. Докажите, что " $ ПТ() и $ ПТ()
22. Верно ли, что " можно разбить на 2 подпоследовательности и таким образом, чтобы ПТ() = ПТ() = ПТ().
23. Верно ли, что " разбиения ПТ() на ПТ₁ и ПТ₂ можно разбить на и таким образом, чтобы ПТ() = ПТ₁, а ПТ() = ПТ₂ ?
24. Верно ли, что последовательность всегда можно разбить на сходящиеся подпоследовательности ,...?
25. Докажите, что : сходится U иконечны и равны?
26. Докажите, что " если , то .

Определение 12.7: (Критерий Коши) Последовательность называется фундаментальной, если

27. Докажите, что " сходящаяся последовательность фундаментальна.
28. Докажите, что " ФП ограничена.
29. Докажите, что " ФП содержит почти все элементы .
30. Докажите, что " фундаментальная последовательность сходится.

    Указание : Используйте задачи 25-29.

31. Исследовать (монотонность, ограниченность, сходимость; найти ПТ(),,):

    a).

    b).

    c).(*)

[Вернутся к оглавлению]