Метрические пространства.

Определение 13.1: Пусть M - некоторое множество и любым двум его элементам x и y сопоставлено число , причем :

1.
2.
3. .

В таком случае пара называется метрическим пространством (МП), отображение - метрикой, а M - множеством, на котором задана метрика .

  1. Докажите, что - МП :
    2. a).  , M - произвольное множество.
    b). 
    c). 
    d). 
    e). 
    f). 
  2. Пусть , - МП, . Докажите, что :
a). - МП, - МП.
b). - МП - МП, где
c). - МП
d). - МП - МП

Определение 13.2: e -окрестность точки x в МП . Проколотая e -окрестность точки x в МП ()

  1. a).-f). Нарисуйте e -окрестность и проколотую e -окрестность какой-либо точки xI M в МП из задачи 1.

Определение 13.3: Точка x - предельная точка множества X M .

Определение 13.4: Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.

Определение 13.5: Точка x - внутренняя точка множества X M .

Определение 13.6: Множество называется открытым , если любая его точка - внутренняя.

  1. Являются ли данные множества замкнутыми или открытыми при :
a). N b). Q c). отрезок
d). интервал e). полуинтервал.
  1. Доказать, что следующие множества замкнуты на произвольном M :
a). {x}, xM b).
c). M d). Объединение конечного числа замкнутых множеств
e). Пересечение любого числа замкнутых множеств f). Множество предельных точек произвольного X M
g). Объединение X M и множества предельных точек X (такое множество называется замыканием X и обозначается ).
  1. Доказать, что следующие множества открыты на произвольном M :
a). , xM b). , xM
c). d). M
e). Пересечение конечного числа открытых множеств f). Объединение любого числа открытых множеств.

7. XM замкнуто M\X открыто.

8. Рассмотрим метрики из задач 1c, 1e, 1f. Докажите, что если X R2 - открыто (замкнуто) в одной из этих метрик, то оно также открыто (замкнуто) в остальных (такие метрики называются эквивалентными).

9. Рассмотрим множество A всех последовательностей .
a). Докажите, что - метрика на A.
b). Докажите, что - метрика на A.
c). Эквивалентны ли они ?

[Вернутся к оглавлению]