Определение 15.1 Комплексным числом z называют пару < x,y> , где x,yR, формально полагая, что z=x+i*y, где x - вещественная часть, а y - мнимая часть комплексного числа z, i²= -1 (i - мнимая единица). Два комплексных числа z=x+iy и z=u+iv равны, если < x,y> =< u,v> . Множество состоящее из всех таких z называют множеством комплексных чисел, обозначается С.

Геометрической интерпретацией комплексного числа является вектор (см. Рис.) на координатной плоскости, проведённый из точки (0,0) в точку с координатами (x,y). Оси координат обозначаются соответственно Re z (т.е. real z) и Im z (imagine z), такая плоскость называется комплексной плоскостью.

Модуль комплексного числа , как длина соответствующего вектора. Аргументом комплексного числа z (arg z) называется угол j между осью Re z и вектором на комплексной плоскости, который соответствует числу z.

1. Напишите чему равны выражения:

   i 1

   i 2

   i 3

   i 4

2. Выяснить, как выражается комплексное число z=x + iy через arg z=a (используя тригонометрические функции).

Определение 15.2 Действия над комплексными числами.
Для комплексных чисел операции сложения, вычитания и умножения определяются также как и для действительных чисел, надо только помнить, что комплексное число - выражение, состоящее из мнимой и действительной частей.
Например: z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂ тогда z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂).
Операция деления определяется как обратная умножению.
Комплексно сопряжённым с z называется число такое, что z=.

3. Покажите чему равно число, комплексно сопряжённое c z , если z=x + iy
4. Дано: , . Вычислите:

   a).

   b).

   c).

   d).

5. Найти arg z , если z=1 + 2i.
6. Используя тригонометрическое представление комплексного числа (задача 2) найти чему равна сумма, произведение и частное двух комплексных чисел.
7. Найти с помощью тригонометрического представления комплексного числа:

   a). zn=?

   b).

Определение 15.3 Корнем n-ной степени из числа z называется такое число c, что cⁿ=z, nN, zC.

8. Вычислите:

   a).	b).	c).
   покажите как геометрически представить полученные решения.

9. Покажите на комплексной плоскости области, удовлетворяющие следующим неравенствам:

   a).

   b).

   c).

10. Разложите на множители

    a). z2 + 3

    b). 13 (с целыми коэффициентами)

11. Решите уравнение:

    a). z3 + 1=0

    b). z10 + 1=0

Формула Эйлера: . Эта формула выводится из двух тождеств:

следует из разложения ф-ции cos z в ряд,

следует из разложения ф-ции sin z в ряд.

Тогда любое комплексное число C можем представить в виде , где j =arg C.

Функцией комплексного аргумента f(z) назовём отображение f: AB, где z=x+iy, f(z)=u+iv, A - множество состоящее из пар < x,y> , B - множество состоящее из пар < u,v> .

12. (**) f(z)=u+iv, z=x+iy. Определите u(x,y) и v(x,y) для функции f(z)=ln z.
13. (**) Пользуясь тем, что ch z =, sh z = вычислить .

[Вернутся к оглавлению]