Функции и их графики.

Горелову
Александру Сергеевичу
посвящается...

Определение 16.1 Напомним определение функции: пусть заданы некоторые множества А и В, функция (отображение) множества А в множество В - это соответствие, при котором каждому элементу xА сопоставляется не более одного элемента yВ.
    Обозначения:  . При этом x называют аргументом функции f, а y - её значением.
    Областью определения функции f называется множество .
    Областью значений функции f называется множество .
Множество пар < x,y> таких, что xA, f(x)=y называется графиком функции f. Функции f и g считаются равными, если D(f)=D(g) и xD(f) f(x)=g(x).

В этом листке рассматриваются числовые функции, т.е. функции для которых А,ВR. График такой функции - множество точек координатной плоскости. Если функция задана формулой и область её определения не указана, то за D(f) принимают множество всех таких действительных чисел, для которых данная формула имеет смысл.

  1. Найдите область определения и область значений функции:
    a). y = x b). c).
    d). e).
  2. Равны ли функции:
    a). x и b). и
  3. Какие из изображённых множеств являются графиками функции:
    a).1601.jpg (5803 bytes) b).1602.jpg (7529 bytes) c).1603.jpg (6710 bytes)
  4. На координатной плоскости нарисована фигура F, сформулируйте необходимое и достаточное условие того, что эта фигура - график функции y=f(x).

Определение 16.2 Пусть заданы функции f и g, причём E(f)D(g). Функция h(x)=g(f(x)) определенная на D(f), называется их композицией (сложной функцией) и обозначается .

Определение 16.3 Функции вида y = ax + b называются линейными, функции вида дробно-линейными, функции вида - квадратичными.

  1. Верно ли, что композиция
    a). двух линейных функций – линейна
    b). двух квадратичных функций – квадратична
    c). композиция каких функций из Опр. 16.3 будет квадратична ?
  2. Дан график функции y = f(x), построить графики функций:
    a). - f (x) d). g). f (x+1) 1604.jpg (13426 bytes)
    b). f (- x) e). h). f (2x)
    c). f () f). f (x) + 1 i). 2f(x)

Определение 16.4 Функция называется:

a). инъекцией (вложением), если ,
b). сюръекцией (наложением), если ,
c). биекцией, если функция взаимно-однозначна.
  1. Докажите, что если функция одновременно и сюръекция и инъекция, то она - взаимно-однозначна.
  2. Приведите примеры функций, которые являются: инъекцией, сюръекцией, биекцией.

Определение 16.5 Функция называется чётной /нечётной/ , если

1).
2).
  1. Любая ли функция является чётной либо нечётной ?
  2. Пусть f1 , f2 - чётные функции, g1 , g2 - нечётные. Будут ли чётными или нечётными функции:
    a). f1 ± f2 b). g1 g2 c). f1 * f2
    d). g1 * g2 e). f1 + g1 f). f1 * g1
  3. Каким геометрическим свойством обладают графики чётной и нечётной функций ?
  4. Докажите, что если для функции выполняется: , то её можно единственным способом представить в виде суммы чётной и нечётной функции.
  5. Определите какие функции являются чётными, какие нечётными, а какие ни теми и не другими (в последнем случае представьте функцию в виде суммы чётной и нечётной функции, если это возможно):
    a). b). c).
    d). e). f).
    g). h). i).

Определение 16.6 Функция называется периодической с периодом M> 0, если:

1).

2).

[Вернутся к оглавлению]