Функции и их графики.
  1. Может ли сумма двух
    a). непериодических функций быть периодической
    b). периодических функций быть непериодической?
  2. Приведите пример двух периодических функций, не имеющих наименьшего периода.
  3. Приведите пример функции, для которой любое рациональное положительное число является периодом, а ни одно иррациональное не является.
  4. Являются ли следующие функции периодическими? Если являются, то найдите их наименьший период (если он существует)
    a). b). c).
    d). e). f).
    g). h).

Определение 16.7 Функция называется возрастающей (строго возрастающей) /неубывающей/ на множестве X, если:  < < //. Функция, которая является либо невозрастающей на X, либо неубывающей на X, называется монотонной на X.

  1. Дайте определение:
    a). функции, убывающей (строго убывающей) на X
    b). функции, невозрастающей на множестве X.
  2. Приведите пример функции, определённой на R и не монотонной ни на каком интервале.
  3. Найдите промежутки возрастания, убывания функций:
    a). b). c).

Определение 16.8 Пусть f: . Функция Image1689.gif (860 bytes) называется обратной к функции f , если D(Image1689.gif (860 bytes))=E(f) и , обозначается: .

  1. Функция имеет обратную на X , определённую на Y , тогда и только тогда, когда она взаимно-однозначна. (Примечание: D(f)=X)
  2. Приведите пример не монотонной функции у которой существует обратная.
  3. Сформулируйте достаточное условие существования обратной к f функции, исходя из монотонности f.
  4. Найти обратные функции и области их определения:
    a). b). c).
    d). e). f).
    g). h). i).
  5. a). Чему равна функция ?
    b). Докажите, что , если и существуют.
  6. Пусть . Докажите, что графики функций и симметричны относительно прямой .
  7. Найти , если известно, что:
    a). b).

    8. Примечание: уравнения, где требуется найти неизвестную функцию называются функциональными уравнениями.

  8. Дан график функции (см. Задачу 6), постройте графики функций:
    a). b). c).
    d). e). f).

 

План исследования функций:

1). Область определения;
2). Область значений;
3). Чётность, нечётность, периодичность;
4). Точки пересечения с осями координат;
5). Промежутки монотонности;
6). Точки экстремума, значение функции в этих точках.

Определение 16.9 Точка называется точкой локального максимума /минимума/ функции f ,если:

1).
2).

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Примечание: Если на всей области определения существует только одна точка экстремума, то такая точка называется точкой глобального минимума или максимума соответственно.

  1. Запишите в кванторах, что означает, что точка x0 - точка глобального максимума функции f .
  2. Исследуйте функции и постройте их графики:
    a). b).
    c). d).
    e). f).
    g). h). , D(f)=R+.
  3. Найти на координатной плоскости множества точек, удовлетворяющие следующим соотношениям:
    a). b). c).
    d). e). f).

[Вернутся к оглавлению]