Определение 18.1: Число b называется пределом функции f(x) в точке a если: . Обозначается: (Читается предел (limit) функции f(x) при x стремящемся к a равен b).

1. Сформулируйте определение предела функции в случае, если b - одна из бесконечностей: ; покажите на графике вид -окрестности для каждого из случаев.

Определение 18.2: Точка b называется пределом функции f(x) в точке a , если для любой последовательности последовательность .
Замечание: Чтобы определение предела функции имело смысл, должна существовать хотя бы одна последовательность {}, сходящаяся к а, все элементы которой принадлежат D(f) и, хотя бы один элемент которой не равен а. Это условие мы будем называть так: D(f) позволяет иметь предел (Во всех задачах выполнение этого условия необходимо!).

2. Докажите единственность предела функции.
3. Покажите эквивалентность определений 1 и 2 для конечного b .
4. Покажите, что определение предела числовой последовательности является частным случаем определения предела функции.

Определение 18.3: Точка b называется пределом справа функции f(x) в точке a , если для любой последовательности такой, что: , последовательность . Обозначается: .

5. Запишите в кванторах определение предела функции слева.
6. Объясните, что означают следующие высказывания:

   a).

   b).

   c).

   d).

   e).

   f).

   g).

   h).

7. Докажите: , при условии, что в правой и левой проколотых полуокрестностях точки a найдётся хотя бы по одному элементу из D(f).
8. Найдите пределы функции при .
9. Воспользовавшись определением 1 доказать:

   a).

   b).

   c). .

10. Приведите пример функции (D(f)=R):

    a). имеющей предел всюду на R за исключением некоторой точки

    b). имеющей предел только в одной единственной точке

    c). не имеющей предела нигде на R.

11. Существует ли функция, определённая всюду на R и имеющая предел только в рациональных точках?
12. Исследовать левые и правые пределы в различных точках функций:

    a).

    b).

    c).

    d).

Замечание : Условие (1) означает, что a - предельная точка множества D(f), т.е. то, что D(f) позволяет иметь предел.

13. Объясните, что означает определение 18.3, переформулируйте определение 18.1 для МП следующего вида: .
14. Построить элементарную функцию f (одной формулой), у которой:

    a).

    b).

    c). ,

    d). .

Определение 18.5: Функция называется бесконечно малой (БМФ) при , если . (БМФ обычно обозначают прописными греческими буквами ...)

Определение 18.6: Функция называется ограниченной на множестве M , если: .

15. Докажите, что:

a). сумма двух БМФ есть БМФ

b). сумма произвольного конечного числа БМФ есть БМФ

c). произведение двух БМФ есть БМФ

d). произведение произвольного конечного числа БМФ есть БМФ

e). БМФ - есть величина ограниченная в некоторой окрестности точки a

f). произведение БМФ на ограниченную есть БМФ.

16. Докажите: - БМФ при .
17. Пусть у и существуют в точке a конечные пределы, докажите, что:

    a).

    b).

    c).

18. Пусть , докажите, что: .
19. Пусть и , докажите, что: .
20. Докажите: .
21. Теорема о двух милиционерах: .

Определение 18.7: Сравнение БМФ. Пусть и - БМФ при , тогда если предел :

a) не существует, то БМ и называются несравнимыми величинами

b) существует и равен нулю, то называют БМ более высокого порядка

c) существует и равен бесконечности, то называют БМ более высокого порядка

d) существует и равен некоторому числу не равному нулю, то говорят, что и - БМ одного порядка

e) существует и равен 1, то и называются эквивалентными БМ.

22. Дано: и - эквивалентные БМ. Чему равна их разность?

Практические задачи.

23. Замечательные пределы. Докажите, что:

a).	b).
c).	d).

24. Найдите пределы функций:

a).	b).
c).	d).
e).	f).
g).	h).
i).

25. Найдите пределы функций:

a).	b).	c).
d).	e).

26. Являются ли функции и эквивалентными?
27. Сравните функции по порядку малости, при:

    a).

    b).

    c).

[Вернутся к оглавлению]