Определение 19.1: Функция , определённая в некоторой окрестности точки ,называется непрерывной в этой точке, если .

Определение 19.2: Пусть функция определена в проколотой окрестности . Точка в таком случае называется точкой разрыва функции , если либо не определена в точке , либо определена, но не является непрерывной в ней. Если при этом существуют конечные пределы и , то точка называется точкой разрыва первого рода. Если , то разрыв называется устранимым. Все прочие точки разрыва называются точками разрыва второго рода.

Определение 19.3: Пусть функция определена в левой (правой) полуокрестности () точки . называется непрерывной слева (справа) в этой точке, если ().

Определение 19.4: Функция , определённая определённая на множестве , называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в любой точке этого множества.

Примечание: При определении непрерывности предел функции понимается в смысле определения 18.4 .

1. Пусть функции и - непрерывны в точке . Докажите:

   а). непрерывна в точке

   б). непрерывна в точке

   в). Если , то непрерывна в точке .

2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Докажите, что .
3. Пусть функция непрерывна и сторого возрастает (убывает) на отрезке . Докажите:

   а). Обратная функция также непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке

   б). Если при этом и имеют один и тот же знак, то функция непрерывна и строго убывает (возрастает) на отрезке .

4. Докажите, что любой многочлен n-й степени непрерывен на .
5. Докажите, что отношение многочленов непрерывно на за вычетом множества точек, где .
6. Приведите пример, когда и непрерывно в точке .
7. Докажите, что показательная функция непрерывна на R, а также при строго возрастает на R, а при - строго убывает на R.
8. Как следствие предыдущей задачи, мы можем определить логарифмическую функцию как обратную к показательной . Докажите, что логарифмическая функция непрерывна на , строго возрастает на R при , и строго убывает на при .
9. Докажите, что степенная функция непрерывна на при и непрерывна на при .
10. Исследуйте непрерывность функций , , , .
11. Определить функции, обратные к указанным в предыдущей задаче и исследовать их на непрерывность.
12. Как связаны непрерывность функции на отрезке и интервале ?
13. Докажите, что если непрерывна слева и справа в точке , то - непрерывна в точке и приведите пример, когда обратное утверждение неверно.

Определение 19.5: Верхней (нижней, точной верхней, точной нижней) гранью функции на множестве E называется соответствующая грань множества её значений на множестве E.

14. Запишите определения ТВГ и ТНГ на при помощи кванторов.
15. (Теорема Вейерштрасса) Непрерывная на отрезке функция - ограничена на этом отрезке и достигает свои ТВГ и ТНГ , т.е. .
16. (Теорема Больцано-Коши) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём , . Тогда функция принимает и все промежуточные между и значения, т.е. .
17. Пусть и - соответственно ТНГ и ТВГ на отрезке . Тогда функция на отрезке принимает все значения из отрезка и только их.
18. Докажите, что уравнение имеет решение на отрезке .
19. Докажите, что если функция непрерывна на отрезке , то :

    а). Множество - открыто

    б). Множество - замкнуто.

Определение 19.6: Точка называется изолированной, если .

20. Докажите, что если содержит изолированные точки, то непрерывна в них в смысле определения 18.4.
21. Пусть задана поледовательность непрерывных на отрезке функций . Пусть также . Тогда можно определить функцию . Какие точки разрыва может иметь ?
22. Докажите, что непрерывная на R периодическая функция имеет наименьший период.
23. Исследуйте функции на предмет обычной, левой и правой непрерывности и точек различного вида, постройте графики:

    а).		б).
    в).	г). , где - функция Дирихле.

24. Построить определённую на R функцию :

    а). Непрерывную в единственной точке

    б). Имеющую почти везде точки разрыва 2-го рода и единственный устранимый разрыв

    в). Имеющую почти везде точки разрыва 2-го рода, счётное число устранимых разрывов и единственную точку неустранимого разрыва 1-го рода.