Определение 21.1 Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и - произвольная точка из этой окрестности. Тогда если выражение имеет предел при , то этот предел называется производной функции в точке (обозначается ).

Определение 21.2 Пусть функция определена в некоторой левой (правой) полуокрестности точки и - произвольная точка из этой полуокрестности. Тогда если выражение имеет левый (правый) предел при , то этот предел называется левой (правой) производной функции в точке (обозначается ).

Если функция определена на некотором промежутке и в каждой его точке существует ее производная, то эта производная, очевидно, является функцией, определенной на данном промежутке (обозначается ).

Определение 21.3 Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение , представимо в виде . Слагаемое называется дифференциалом функции в точке (обозначается или ).

Определение 21.4 Пусть функция определена на промежутке и имеет производную в каждой его точке. Если функция имеет производную в точке , то она называется второй производной функции в точке (обозначается или ). Аналогично определяется производная n-го порядка .

1. Докажите, что определения 21.1 и 21.3 эквивалентны, причем .
2. Докажите, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в ней.
3. 
4. Выведите уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
5. Пусть функции и имеют производные в точке . Докажите, что:

   а).	в).
   б).

6. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Докажите, что тогда сложная функция имеет производную в точке , причем .
7. Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную . Тогда и обратная функция имеет производную в точке , причем .
8. Вычислить производные функций:

   а).	д).	и).
   б).	е).	к).
   в).	ж).
   г).	з).

9. Привести примеры функций, определенных на :

   а). дифференцируемой только в одной точке;

   б). непрерывной всюду, а дифференцируемой всюду, кроме одной точки;

   в).* всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой.

10. Найти производные функций на :

    а).	г).	ж).
    б).	д).	з).
    в).	е).

11. Вычислить производные функций (подобные задачи будут на контрольной):

    а).	г).
    б).	д).
    в).	е).

12. При помощи дифференциала доказать приближенные оценки:

    а).

    б).

    в).

[Вернутся к оглавлению]