0. Вычислить:
а).  |
б).  |
Теоремы о непрерывных функциях. Экстремум.
Исправление ошибок:
0. Вычислить:
| а). |
б). |
Определение 22.1: (Условие
Коши) Функция 
удовлетворяет в точке 
условию Коши, если:
 |
Теорема 1:
имела в точке конечное предельное значение,
необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла в
этой точке условию Коши.
Теорема 2: Непрерывная на отрезке функция ограничена на нём.
Теорема 3: Непрерывная
на отрезке функция достигает на нём своего
максимального и минимального значения. (Дать
определение 
)
Теорема 4: Пусть непрерывна на 
, причём 
, тогда:
|
Теорема 5: Пусть непрерывна на , тогда:
|
Определение 22.2: Функция
называется возрастающей (убывающей) в
точке, если существует такая окрестность
этой точки, в которой данная функция является
возрастающей (убывающей).
Теорема 6: дифференцируема
в точке 
и 
, то эта функция
возрастает (убывает) в данной точке.
Определение 22.3:
Непрерывная на множестве 
функция имеет в точке 
глобальный минимум (максимум),
если: 
Определение 22.4:
Непрерывная на множестве 
функция имеет в точке 
локальный минимум (максимум),
если: 
Замечание: Точки минимума и
максимума функции называют точками экстремума
данной функции.
Теорема 7:
Если функция непрерывна и
дифференцируема в некоторой e -окрестности точки 
и достигает в ней
экстремального значения, то: 
.
Замечание: Точки, в которых
производная функции равна нулю мы будем называть
стационарными точками этой функции.
Теорема 8:
непрерывна и дифференцируема на отрезке 
, причём 
, то: 
.
Теорема 9: (Лагранжа)
Если функция
непрерывна и дифференцируема на отрезке , то: 
. Дайте геометрическую
интерпретацию этой теоремы.
Теорема 10: (Коши)
Пусть функции ,
непрерывны и
дифференцируемы на , причём: 
, тогда: 
.
Теорема 11: Пусть непрерывна и
дифференцируема на 
и 
,
тогда: 
.
Теорема 12: (Правило Лопиталя)
a). Пусть функции и - определены и
дифференцируемы в некоторой окрестности  точки  , за исключением,
быть может, самой точки ,  .
Тогда:  |
б). В условии
теоремы:  . |
в). В условии
теоремы:  . |
