Дифференциалы высших порядков. Ряд Тейлора.

Определение производной 2-го и n-го порядка было в 21 листке. Стоит отметить, что для определения n-й производной в точке необходимо, чтобы (n-1)-я производная была непрерывной функцией в некоторой окрестности этой точки.

  1. Пусть - n раз дифференцируемые функции на отрезке . Найти:
    а). б). в).
  2. Пусть - дважды дифференцируемая функция на отрезке и не изменяет знак на этом отрезке. Тогда уравнение имеет на этом отрезке не более двух корней.
  3. Пусть - дважды дифференцируемая функция на отрезке и ее график пересекается прямой в трех различных точках . Тогда .

Определение 24.1 Пусть - дифференцируемая функция на промежутке . Рассмотрим ее дифференциал как функцию только от (т.е. при неком постоянном ). Пусть также дифференцируема на . Запишем дифференциал функции : . Взяв , назовем вторым дифференциалом функции в точке значение дифференциала в этой точке. Обозначается . Так же определим n-й дифференциал как дифференциал от (n-1)-го дифференциала при . Заметим, что формулы и верны ТОЛЬКО когда - независимая переменная.

  1. Найти n-е производные функций :
    а). б). в). г).
    д). е). ж). з).

Определение 24.2 Пусть n раз дифференцируема в точке . Поставим задачу приближения этой функции в некой окрестности точки с "любой степенью точности". А именно, найдем многочлен не более чем n-й степени такой, что для из некой окрестности точки и . Можно доказать, что . Этот многочлен называется многочленом Тейлора n-го порядка, а - остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано. Известно, что кроме многочлена Тейлора, ни один многочлен n-й степени не может приближать функцию с точностью до .

  1. Доказать, что если функция в некоторой окрестности имеет n-ю производную, то для любой точки из этой окрестности и функции , непрерывной на , причем на найдется точка такая, что .
  2. Взяв вспомогательную функцию и применив к ней и из предыдущей задачи теорему Коши о среднем, получить следующие формы записи остаточного члена :
    а). (форма Лагранжа)
    б). (форма Коши)
  3. Найти разложения в ряд Тейлора n-й степени при :
    а). б). в). г).
    д). е). ж).
  4. Найти пределы :
    а). б). в).
    г). д). е).

[Вернутся к оглавлению]