Полное исследование функций

Полное исследование функций. (Часть 1)

Теорема 1: Пусть точка - стационарная точка функции . дифференцируема всюду в некоторой окрестности . Тогда если для любого из левой полуокрестности точки и для любого из правой полуокрестности , то имеет в точке локальный максимум (минимум). Если же имеет один и тот же знак в левой и правой полуокрестностях точки , то эксремума в точке нет.

Теорема 2: Пусть точка - стационарная точка функции . Существует . Тогда имеет локальный максимум в точке , если и локальный минимум, если .

Теорема 3: Пусть точка - стационарная точка функции . дифференцируема всюду в некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки , и непрерывна в этой точке. Тогда если для любого из левой полуокрестности точки и для любого из правой полуокрестности , то имеет в точке локальный максимум (минимум). Если же имеет один и тот же знак в левой и правой полуокрестностях точки , то эксремума в точке нет.

Определение 25.1: Определим область на плоскости, как подмножество точек , которое замкнуто на множестве . Выпуклой – называется область такая, что отрезок, соединяющий любые две точки этой области, целиком принадлежит этой области. Пусть функция дифференцируема на (и её производная - конечна). Тогда, если область, ограниченная снизу графиком функции , и прямыми (область включает в себя границу) - выпуклая, то график функции называется выпуклым вниз на . Если график функции - выпуклый вниз на , то график функции называется выпуклым вверх на .

Теорема 4: Если у существует на конечная вторая производная, причём , то график функции имеет на выпуклость направленную вниз (вверх).

Замечание: Если , то - линейная функция. В этом случае направление выпуклости считается произвольным.

Теорема 5: Пусть непрерывна в точке и . Тогда существует такая окрестность точки , в которой имеет выпуклость направленную вниз (вверх).

Определение 25.2: Пусть дифференцируема на и имеет определённое направление выпуклости. Точка , называется точкой перегиба графика функции , если существует такая окрестность точки , принадлежащая , что имеет в пределах этой окрестности разные направления выпуклости слева и справа от .

Теорема 6: Если функция дважды дифференцируема в точке и её график имеет перегиб в данной точке, то .

Теорема 7: Пусть функция имеет конечную вторую производную всюду в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . непрерывна и дифференцируема в точке . Тогда если в пределах данной окрестности имеет разные знаки слева и справа от , то - точка перегиба графика функции .

Теорема 8: Если для выполняется, что: , то - точка перегиба графика функции .

Теорема 9: (Общее достаточное условие эксремума и перегиба).

Пусть задана функция и для некоторой окрестности точки верно:

Тогда если , то график функции имеет перегиб в точке ; если и , то имеет в точке локальный экстремум, причём, если , то локальный минимум, если , то локальный максимум.

Теорема 10: (Дарбу) Пусть функция дифференцируема на (то есть у неё существует полная производная на , левая в точке и правая в точке ), причём: . Тогда для любого , заключённого между и верно: .