Определённый интеграл.

Интегрируемость

Определение 28.1: Множество точек отрезка таких, что: называют разбиением отрезка . Длины частичных отрезков разбиения обозначим: . Мелкостью разбиения (читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .

Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех точки . Интегральной суммой функции на отрезке с разбиением будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек ) вида: .

Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции на отрезке назовём такое число , что . Обозначается: . pic2801.jpg (5240 bytes)

Определение 28.4: Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: .

Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.

Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).

Замечание 2: В дальнейшем мы будем рассматривать только ограниченные функции.

 

Свойства интегральных сумм

Определение 28.5: Пусть - некоторое разбиение отрезка и , где , а – некоторая функция. Тогда верхней интегральной суммой функции с разбиением назовём сумму вида: , нижней интегральной суммой: .
Замечание: Очевидно, что: .

Свойство 1а:

Свойство 1б:

Замечание: Из 1а и 1б следует, что: .

Свойство 2: на (т.е. любая нижняя сумма не превосходит любой верхней)

Свойство 3: , где - колебание функции на отрезке .

Определение 28.6: Верхним интегралом функции на будем называть точную нижнюю грань верхних интегральных сумм по множеству разбиений . Т.е. . Аналогично, нижним интегралом будем называть: . Замечание: Из свойства 2 следует, что: .

 

Критерий интегрируемости функций

Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: .

Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: .

Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: .

Равномерная непрерывность

Определение 28.7: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: ).
Пояснение: (см.Рис.) Пусть: . Тогда: . Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве . pic2802.jpg (12506 bytes)

Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.

 

Классы интегрируемых функций

Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке , и если можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше . То - интегрируема на .
Замечание: Очевидно, что если - интегрируема на , а отличается от только в конечном числе точек, то - интегрируема на и .

Определение 28.8: Определённым интегралом функции на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.

 

Свойства определённого интеграла
  2. - это соглашение
  3. Если , то: - это, также, соглашение
  4. Если - интегрируемы на ,то:
    а).
    б). Существует
  5. Если существует и , то существует
  6. Если - интегрируема на , , то:
  7. Если существуют и , то существует

 

Сравнение определённых интегралов
  1. Если - интегрируема на и , то:
  2. Если - интегрируема на и , то:
  3. Если - интегрируемы на и почти для всех , то:
  4. Если - интегрируема на , то - также интегрируема на (обратное неверно), причём:
  5. Если - интегрируемы на и , , то:

 

Формулы средних значений
  1. Пусть - интегрируемы на , (или ), . Тогда такое, что:
  2. Если - непрерывная на функция, то:
  3. Если - монотонна на , - интегрируема на , то:

 

Существование первообразной

Определение 28.9: Пусть - интегрируема на , , тогда: функция интегрируема на и функция называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция - интеграл с переменным нижним пределом.

Теорема 28.6: Если функция - непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .
Замечание 1: Из дифференцируемости функции следует её непрерывность, т.е.
Замечание 2: Поскольку - одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: . Это связь между определённым и неопределённым интегралами

[Вернутся к оглавлению]