Индукция и прогрессии

Метод Мат. Индукции.

1. Найти .
2. .
3. Доказать (по индукции) формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Соответствия

1. Сколько существует отображений (D(f)=X) XY, если в X - n, а в Y - m элементов.
2. Введите отношение порядка на следующих множествах: N r N, на поверхности сферы

Кванторы

1. Доказать, что формула является тавтологией: ((pq) ((qr) (pr))).
2. Запишите через кванторы и выражения: ;

Предел последовательности

1. Найти номера наибольших членов последовательности {a_n}: a_n = .
2. Существует ли такая последовательность целых (действительных) чисел, что любая последовательность целых (действительных) чисел является её подпоследовательностью ?
3. Построить систему из бесконечного числа БМП так, чтобы почленное произведение не являлись БМП.
4. Докажите, что если и , то
5. Докажите, что если , то .
6. (Теорема Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
7. (Теорема о двух милиционерах) Пусть . Доказать, что .
8. Сходятся ли последовательности, и, если да, то к чему: ; . Доказать, что $ .
9. Докажите, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна.
10. Докажите, что .
11. Докажите, что у последовательности существует предел

Метрические пространнства

1. М=[0;1], является ли - МП?
2. M=Z, где , является ли - МП?
3. , является ли- МП?
4. Рассмотрим множество A всех последовательностей , докажите, что - метрика на A.
5. Для любого ли множества можно ввести метрику ?

Комплексные числа

1. Дано: , . Вычислите: ; .
2. Найти.
3. Вычислите: .
4. Решите уравнение: z¹⁰ + 1=0.

Предел функции

1. Воспользовавшись определением доказать: .
2. Докажите, что: .
3. Докажите, что .
4. Докажите, что .
5. Вычислить предел: .

Асимптоты

Непрерывность функций

1. Докажите теорему Вейерштрасса (1 и 2-ую) о непрерывных функциях.
2. Докажите теорему Больцано-Коши о непрерывных функциях.
3. Доказать критерий Коши.
4. Докажите теорему Ферма.
5. Докажите теорему Ролля.
6. Докажите теорему Лагранжа.
7. Докажите теорему Коши.
8. - дифференцируемая на [a,b] функция. Докажите, что не может иметь на [a,b] точек разрыва 1-ого рода.
9. Докажите непрерывность функции .
10. Докажите непрерывность функции: .
11. Пусть монотонная непрерывная функция, докажите, что - монотонная непрерывная функция.
12. Докажите: , где a и b - числа.
13. Может ли функция, непрерывная на , быть не дифференцируемой ровно во всех рациональных точках?
14. Привести пример функции, непрерывной на [a,b], но нигде не дифференцируемой.
15. Построить элементарную функцию f (одной формулой), у которой ,
16. Докажите, что непрерывная на периодическая непостоянная функция имеет наименьший период.
17. Пусть задана последовательность непрерывных на отрезке функций . Пусть также . Тогда на отрезке можно определить функцию Какие типы точек разрыва она может иметь?

Производная и дифференциал

1. Доказать инвариантность формы 1-ого дифференциала.
2. Если производная некоторой функции на [a,b] всюду равна нулю, то .
3. Функция дифференцируема в точке существует производная функции в точке .
4. Вывести уравнение касательной и нормали к графику функции.
5. Вычислить 1 и 2 производные функции:
6. Привести пример функции, непрерывной на [a,b] вместе со своей производной, у которой вторая производная - разрывна.
7. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Докажите, что тогда сложная функция имеет производную в точке , причем .
8. Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную . Тогда и обратная функция имеет производную в точке , причем .
9. Найти производную и доказать
10. Найти производную и доказать
11. Найти производную и доказать
12. При помощи дифференциала доказать приближенную оценку:
13. =?
14. =?
15. =?
16. =?
17. Найти n-е производные функции: .
18. Найти n-е производные функции: .
19. Найти n-е производные функции: .

Ряд Тейлора

1. Найти разложение в ряд Тейлора n-й степени при :
2. Найти разложение в ряд Тейлора n-й степени при :
3. Найти разложение в ряд Тейлора n-й степени при :
4. Найти предел:
5. Найти предел:
6. Найти предел:
7. Найти предел:
8. Найти предел:

Экстремумы, исследование функций

1. Необходимое условие экстремума.
2. Необходимое условие перегиба.
3. Общее достаточное условие экстремума и перегиба.
4. Исследовать функцию:
5. Исследовать функцию:
6. Исследовать функцию:
7. Исследовать функцию:
8. Исследовать функцию:
9. Исследовать функцию:
10. Исследовать функцию:
11. Исследовать функцию:
12. Исследовать функцию:
13. Найти точки глобального экстремума:
14. Найти точки глобального экстремума:
15. Найти точки глобального экстремума:
16. Доказать неравенство:
17. Дан прямой круговой цилиндр, высотой и радиусом основания . При каком соотношении и цилиндр с постоянной площадью полной поверхности имеет наибольший объем.
18. В чашку, имеющую форму полусферы радиуса , опущен однородный стержень длины . Предполагая, что , найти положение равновесия стержня.
19. На параболе найти точку М, наименее удалённую от прямой .
20. Найти наибольший объём конуса при заданной длине его образующей.
21. Периметр осевого сечения цилиндра равен . Найти наибольший объём такого цилиндра.
22. В полукруг радиуса вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание и высоту .
23. Отрезок длины разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей.
24. Найти наименьший объём конуса, описанного около шара радиуса .

Первообразная и НИ

1. 
2. Вывести рекуррентную формулу для интеграла: , найти .
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 

Определённый интеграл

1. Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.
2. Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
3. Если функция определена и ограничена на отрезке , и если можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше . То - интегрируема на .
4. Доказать 1-ую формулу средних значений.
5. Если функция - непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .
6. Если - первообразная непрерывной функции на , то:.
7. Построить эскиз графика функции: .
8. Построить эскиз графика функции: .
9. Вычислить с помощью определённого интеграла: .
10. Показать, что для интеграла верна рекуррентная формула: и вычислить .
11. Доказать равенство интегралов: , вывести рекуррентную формулу , вычислить .
12. =?
13. =?
14. =?
15. =?
16. =?
17. Вычислить интеграл с точностью до четвёртой производной разложения первообразной подынтегральной функции в ряд Тейлора.

Приложения ОИ

1. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением на отрезке .
2. Найти длину одной арки циклоиды .
3. Найти длину дуги астроиды , в зависимости от диаметра описаной окружности.
4. Найти длину участка цепной линии на отрезке .
5. Найти площадь плоской фигуры:
6. Найти площадь плоской фигуры:
7. Найти площадь плоской фигуры:
8. Найти площадь эллипса, полуоси которого равны соответственно и ().
9. Найти пложадь поверхности сферы, радиуса R.
10. Найти площадь поверхности эллипсоида.
11. Найти объём тела E, полученного вращением фигуры F вокруг оси OX: F – синусоида на отрезке .
12. Найти объём тела E, полученного вращением фигуры F вокруг оси OX: F – эллипсоид.
13. Найти объём тела E, полученного вращением фигуры F вокруг оси OX: F – астроида, задаваемая уравнением .