В каждой клетке таблицы 3 X 3 стоит одно из трех чисел : -1, 0, 1. Докажите, что если посчитать суммы чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой из больших диагоналей (т.е диагоналей, соединяющих угловые клетки), то хотя бы две из этих сумм окажутся равны.

9 коробков спичек стоят меньше, чем 10 рублей, а 10 коробков - больше, чем 11 рублей. Сколько стоит 1 коробок?

Найти наименьшее натуральное (т.е. целое и положительное) число, которое при делении на 6 дает остаток 5, при делении на 7 - остаток 6, при делении на 8 - остаток 7, при делении на 9 - остаток 8, при делении на 10 - остаток 9.

В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла LC проведены биссектриса CL, высота CH и медиана CM. Докажите, что LLCH = LLCM.

В стаде 101 корова, причем масса каждой из них - целое число килограммов. Известно, что если увести из стада любую корову, то 100 оставшихся коров можно будет разделить на два стада по 50 коров так, что при этом суммарная масса коров в первом из этих двух стад будет равна суммарной массе коров во втором из этих стад. Доказать, что массы всех коров в стаде равны.

Можно ли найти три таких числа (не обязательно целых), что, если подставить их вместо звездочек в уравнение *x² + *x + * = 0 (в любом порядке), то оно обязательно будет иметь два различных рациональных корня? (Рациональное число - это число, которое можно представить в виде дроби m / n, где m - целое, а n - натуральное.)