В ящике находятся шары девяти различных цветов (шаров каждого цвета очень много). Какое минимальное число шаров необходимо вынуть, чтобы среди них обязательно нашлось 11 шаров одного цвета?

Леша начал играть в пятнашки, считая свои ходы. Через некоторое время он заметил, что свободная ячейка находится на том же месте, что и раньше. Докажите, что Леша к этому моменту сделал четное число ходов.

На доске написана дробь 91/57. С написанной на доске дробью разрешается делать следующие операции:
1) Одновременно умножить или разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число, не равное нулю (не обязательно целое).
2) Одновременно прибавить или вычесть из числителя и знаменателя одно и то же число (также не обязательно целое) так, чтобы знаменатель дроби не обратился в ноль.
Можно ли за несколько таких операций получить из исходной дроби дробь 3/2? А дробь 1/1?
(Примечание: в задаче имеются ввиду именно сами дроби, а не равные им, т.е. 1/1 и 2/2 - не одно и то же)

Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на 4 четыре треугольника, имеющих одинаковый периметр. Докажите, что этот четырехугольник - ромб.

Нарисовать на координатной плоскости множество точек (x; y) таких, что x² + y² = 2xy.

В коробке лежат 2003 спички. Играют двое. За один ход разрешается взять из коробки не более половины всех имеющихся там спичек (ломать спички нельзя; не взять ни одной спички также нельзя). Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: тот, кто начинает, или его соперник?